Šťastná čísla

(z knihy Richard P. Feynman, To snad nemyslíte vážně!, český překlad Jan Klíma, AURORA, Praha, 1999, str. 143—148)

Jednou jsem seděl v Princetonu v hale a zaslechl pár matematiků, jak se baví o řadě pro e^x, která je 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... Každý člen dostanete z předchozího násobením x a dělením číslem o jedničku větším. Například abyste dostali člen, který následuje za x⁴/4!, násobíte tento člen x a dělíte 5. Je to úplně jednoduché.

Když jsem byl malý kluk, tak se mně řady hrozně líbily a hrál jsem si s nimi. Počítal jsem e s pomocí této řady a sledoval, jak rychle se další členy zmenšují.

Zamumlal jsem něco v tom smyslu, jak je snadné spočítat libovolnou mocninu e pomocí téhle řady (prostě dosadíte exponent za x).

„Jo, opravdu?“ řekli a nějaký šprýmař — myslím, že to byl Tukey — řekl: „Tak dobře, kolik je e  na 3,3?“

Povídám: „To je jednoduché. Je to 27,11.“

Tukey ví, že spočítat to všechno z hlavy není tak jednoduché. Poslyš, jak to děláš?“

Druhý kluk říká: „Znáš Feynmana, dělá si z nás srandu. Vždyť to není dobře.“

Jdou si obstarat tabulky a já zatím dodám pár dalších desetinách míst. „27,1126,“ říkám. Najdou to v tabulkách. „Je to dobře. Ale jak to děláš?“ „Prostě sečtu tu řadu.“

„Nikdo nemůže sečíst tu řadu tak rychle. Prostě jsi to musel náhodou vědět. Co takhle e na 3?“

„Koukejte,“ povídám. „Je to namáhavý! Jenom jeden příklad denně!“

„Aha! Byl to podvod!“ říkají šťastně.

„Tak dobře,“ povídám, „je to 20,085.“ Hledají to v knize a já zatím přidávám desetinná místa. Teď už jsou celí rozčilení, protože jsem to podruhé vypočítal správně. Vida je, slavné matematiky, jak jsou totálně zmatení, že dovedu vypočítat libovolnou mocninu e. Jeden z nich říká: „Nemůže prostě dosadit a sčítat to — je to příliš složité. Musí v tom být nějaký fígl. Neříkej, že to dokážeš opravdu s každým číslem, co třeba e na 1,4?“

Povídám: „Je to dřina, ale pro tebe to udělám. Je to 4,05.“

Zatímco to vyhledávají, přidávám ještě pár míst a říkám: „A tenhle byl pro dnešek poslední!“ a jdu pryč.

Bylo to takhle: náhodou jsem znal zpaměti tři čísla — logaritmus 10 při základu e (je třeba při přechodu od základu 10 k základu e), který je 2,3026 (takže jsem věděl, že e na 2,3 je velice blízké 10) a díky radioaktivitě (střední doba života a poločas rozpadu) jsem znal logaritmus 2 při základu e, který je 0,69315 (takže jsem věděl, že e na 0,7 je téměř rovno 2). Také jsem znal e (na prvou), což je 2,71828.

První číslo, které mi dali, bylo e na 3,3, což je e na 2,3 — čili deset — krát e neboli 27,18. Zatímco si lámali hlavu, jak to dělám, spočítal jsem opravu pro 0,0026 — číslo 2,3026 je maličko větší.

Věděl jsem, že další příklad už bych nevypočítal; tenhle byl naprostá klika. Ale pak ten kluk řekl e na 3: to je e na 2,3 krát e na 0,7 neboli deset krát dvě. Takže jsem věděl, že to je 20, něco — a zatímco bádali, jak to dělám, opravil jsem výsledek vzhledem k 0,693.

Teď už jsem si byl jistý, že nedokážu vypočítat další příklad, protože i tenhle poslední byla naprostá klika. Ale ten kluk řekl e na 1,4, což je e na 0,7 krát totéž. Takže jediné, co jsem musel udělat, bylo trochu opravit tu čtyřku!

Nikdy nepřišli na to, jak jsem to dělal.

Když jsem byl v Los Alamos, zjistil jsem, že absolutní jednička v počítání je Hans Bethe. Tak například jednou jsme dosazovali nějaká čísla do formulky a dospěli k 48 na druhou. Sáhl jsem po kalkulačce Marchant a on povídá: „Je to 2300.“ Začal jsem mačkat tlačítka a on říká: „Jestli to chceš vědět přesně, tak to je 2304.“

Stroj ukazuje 2304. „Páni! To je úžasný!“ říkám.

„Nevíš, jak se počítají dvojmoci čísel kolem 50?“ říká.

„Uděláš dvojmoc padesáti — to je 2500 — a odečteš 100 krát rozdíl toho čísla a padesáti (v tomhle případě 2), takže máš 2300 Když chceš opravu, uděláš čtverec toho rozdílu a přičteš ho. Tím dostaneš 2304.“

O pár minut později potřebujeme třetí odmocninu z 2,5. Když jste chtěli počítat třetí odmocninu s Marchantem, museli jste použít tabulky k nalezení první aproximace. Otevřu zásuvku, abych tabulky vyndal — teď mi to trvá trochu déle — a on říká: „Je to asi 1,35.“

Zkouším to s Marchantem a je to tak. „Jak jste zase našel tohle?“ ptám se. „Znáte tajemství, jak dělat třetí odmocniny?“

„No,“ povídá, „logaritmus 2,5 je tolik a tolik. Teď jedna třetina toho logaritmu leží mezi logaritmem 1,3, který je tohle, a mezi logaritmem 1,4, který je tamto; takže jsem interpoloval.“

Uvědomil jsem si, že: za prvé, umí zpaměti logaritmické tabulky; za druhé, to množství aritmetiky, které provedl jenom během interpolace, by mně trvalo déle než vytáhnout tabulky a mačkat tlačítka kalkulačky. Udělalo to na mě ohromný dojem.

Od té doby jsem se snažil takhle počítat také. Naučil jsem se pár logaritmů a začal vidět souvislosti. Tak například když někdo řekne: „Kolik je dvojmoc 28?“, všimnete si, že odmocnina ze 2 je 1,4 a 28 je 20krát 1,4. Takže 28 na druhou musí být kolem 400 krát 2 neboli kolem 800.

Jestliže někdo přijde a chce dělit 1 číslem 1,73, můžete mu hned říct, že to je 0,577, protože jste si všimli, že 1,73 je dosti přesně druhá odmocnina ze 3, takže 1/1,73 musí být jedna třetina druhé odmocniny ze tří. A kdyby šlo o 1/1,75, tak to je zase převrácená hodnota 7/4 a opakující se desetinná místa pro jednu sedminu umíte zpaměti: 0,571428...

Zažil jsem spoustu legrace, když jsme se s Hansem Bethem snažili, pomocí triků, dělat aritmetiku rychle. Jen zřídkakdy jsem přišel na něco, čeho by si nevšiml, a dospěl k výsledku dříve než on; když se mně to podařilo, srdečně se smál. Téměř vždycky dokázal nalézt výsledek libovolného problému s přesností na jedno procento. Měl to jednoduché — každé číslo bylo blízko něčeho, co znal.

Jednou — bylo to okolo poledne v technickém sektoru — jsem se cítil v obzvláštní formě. Nevím, jak mě to napadlo, ale vyhlásil jsem: „Během šedesáti vteřin dokážu vyřešit s přesností na deset procent každý problém, který mi kdokoliv dokáže zadat během desíti vteřin.“

Lidé mi začali předkládat problémy, o kterých si mysleli, že jsou těžké, jako třeba integrovat funkci 1/(1 + x⁴), která se sotva měnila na intervalu, který mně zadali. Nejtěžší úkol, který mi dali, bylo nalézt binomický koeficient u x¹⁰ ve výrazu (1 + x)²⁰; Spočetl jsem ho v poslední chvíli.

Všichni mi dávali příklady a já se cítil jako vítěz, když šel kolem nás Paul Olum. Než jsme odjeli do Los Alamos, tak jsem nějaký čas s Paulem pracoval v Princetonu. Vždycky byl chytřejší než já. Tak například jednou jsem si bezmyšlenkovitě hrál s ocelovým metrem, který se stočí nazpátek do dlaně, když stisknete knoflík. Pokaždé, když se metr vracel, překmitl, narazil mi do dlaně a trochu to zabolelo. „Páni,“ vykřikl jsem. „Nejsem pitomej? V jednom kuse si s tím krámem hraju a pokaždé mě to sekne.“

Řekl: „Špatně to držíš.“ Vzal ten krám, rozvinul ho, stiskl knoflík, a metr se pěkně vrátil. Žádné seknutí. „Teda! Jak to děláš?“ vykřikl jsem. „Přijď na to sám!“

Další dva týdny jsem prochodil s tím chňapajícím metrem Princeton křížem krážem, až jsem měl ruku úplně krvavou. Nakonec už jsem to nemohl dál vydržet. „Paule, dám se poddat. Jak to, zatraceně, držíš, že tě to nebolí?“

„Kdo říká, že mě to nebolí? Bolí mě to taky.“

Připadal jsem si jako idiot. Kvůli němu jsem chodil dva týdny kolem a zraňoval si ruku!

Takže Paul jde kolem jídelny a chlapci jsou celí rozčilení. „Hej, Paule,“ volají. „Feynman je skvělý! Dáváme mu příklady, které můžeš zadat během desíti vteřin, a během minuty najde řešení plus minus deset procent. Dej mu taky něco!“

Skoro se ani nezastaví a říká: „Tangenta 10 na 100.“

A byl jsem vyřízený: musel bych dělit pí na 100 desetinných míst. Bylo to beznadějné.

Jednou jsem se vytahoval: „Spočítám obyčejnou metodou každý integrál, který ostatní potřebují počítat integrováním v komplexní rovině.“

Takže Paul připravil ďábelský integrál, který vypočítal integrací komplexní funkce, pak vynechal reálnou část a nechal jen imaginární. Předložil mi to tak, že to bylo možné vypočítat jenom integrací v komplexní rovině. Vždycky mě takhle doběhl. Byl to moc chytrý kluk.

Když jsem byl poprvé v Brazílii, obědval jsem tam jednou v restauraci — už se nepamatuju, kolik bylo hodin, vždycky jsem se ocitl v restauraci ve špatnou dobu — a byl jsem jediný host. Jedl jsem stejk s rýží (což miluju) a kolem mého stolu stáli asi čtyři číšníci.

Do restaurace vstoupil Japonec. Už jsem ho předtím viděl, jak obchází kolem; snažil se prodávat abakusy.^[1] Začal se bavit s číšníky a vyzval je k závodění: řekl, že dokáže sčítat rychleji než kterýkoliv z nich.

Číšníci se nechtěli blamovat, tak řekli: „Jo, jo — proč to nezkusíte támhle s naším zákazníkem?“

Přišel tedy ke mně. Protestoval jsem. „Ale já neumím dost portugalsky!“

Číšníci se smáli: „Čísla jsou jednoduchá.“

Přinesli mi papír a tužku. Chlapík požádal jednoho číšníka, aby zadal pár čísel ke sčítání. Porazil mě na hlavu, protože zatímco jsem si čísla psal, on už je rovnou sčítal.

Navrhl jsem, aby číšník připravil dva identické sloupce čísel a podal nám je ve stejný okamžik. Vyšlo to téměř nastejno; stejně mě bezpečně porazil.

Jenomže chlapík se teď dostal trochu do ráže a chtěl se ještě předvést. „Multiplicacao“ řekl.

Někdo napsal příklad. Zase mě porazil, ale už ne o tolik, protože násobím pěkně rychle.

Pak udělal chybu: navrhl, že budeme pokračovat dělením. Neuvědomoval si, že čím je příklad těžší, tím mám větší šanci.

Oba jsme počítali dlouhý příklad na dělení. Skončil nerozhodně.

To ten Japonec nemohl přenést přes srdce, protože to s abakusem zřejmě uměl velice dobře, a teď ho málem porazil nějaký host v restauraci.

„Raios cubkos“ řekl pomstychtivě. Třetí odmocnina! Chce počítat aritmeticky třetí odmocninu! Jen stěží najdete v aritmetice obtížnější fundamentální problém. Muselo to být vrcholné číslo jeho abakusového umění.

Napsal na kus papíru číslo — úplně libovolné číslo — a já si ho dodnes pamatuji: 1 729,03. Načež se s mumláním a bručením dal do díla: „Mmmmmmagmmmmbrr“ — pracuje jako ďábel, pekelně soustředěný na výpočet té třetí odmocniny.

A já zatím jen tak sedím.

Jeden z číšníků povídá: „Co je?“

Ukázal jsem si na hlavu a řekl jsem: „Přemýšlím!“ Na papír píšu 12. Za malou chvíli mám 12,0002.

Muž s abakusem si utřel pot z čela a říká: „Dvanáct.“

„No počkejte,“ povídám. „Víc číslic. Víc číslic!“ Vím, že když počítáte aritmeticky třetí odmocninu, tak každá další číslice dá více práce než ta předcházející. Je to fuška.

Znova se do toho zabral a bručí: „Rrrrgrrrrmmmm...,“ zatímco já přidávám další dvě číslice. Konečně zdvihne hlavu a říká: „12,0!“

Číšníci jsou celí rozčilení a šťastní. Vykládají mu: „Koukej, dokáže to jen přemýšlením, a ty potřebuješ abakus! Má víc čísel!“

Zcela zničený a pokořený odešel. Číšníci si vzájemně blahopřáli.

Jak ten host zvítězil nad abakusem? To číslo bylo 1 729,03. Náhodou jsem věděl, že krychlová stopa obsahuje 1 728 krychlových palců, a protože délková stopa má 12 palců, bude výsledek maličko větší než 12. Podíl 1 729,03/1 728 se liší od jedničky faktorem 1,03/1 728, představujícím skoro jeden díl z 2 000. A z počítání s malými čísly jsem věděl, že třetí odmocnina z 1 + malé číslo je 1 + malé číslo/3. Takže všechno, co bylo třeba provést, bylo vypočítat zlomek 1/1 728 a vynásobit ho čtyřmi (dělit třemi a násobit dvanácti). Takže tímhle způsobem jsem mohl získat tu spoustu desetinných míst.

O pár týdnů později přišel ten chlapík do denního baru v hotelu, kde jsem bydlel. Poznal mě a přišel ke mně. „Povězte mi,“ řekl, „jak jste mohl vypočítat třetí odmocninu tak rychle?“ Začal jsem mu vysvětlovat, že to byla přibližná metoda, která souvisí s odhadem chyby. „Řekněme, že byste mi dal 28. Třetí odmocnina z 27 je 3...“

Vyndal svůj abakus: zzzzzzzzzzz — „Ano, opravdu,“ povídá.

Došlo mi to: on neznal čísla. S abakusem se nemusíte naučit tu spoustu aritmetických kombinací; jediné, co se musíte naučit, je, jak máte posunovat kuličky nahoru a dolů. Nemusíte se učit nazpaměť 9 + 7 = 16; víte prostě, že když přičítáte 9, musíte vysunout desítkovou kuličku nahoru a jednotkovou kuličku dolů. Takže my jsme sice pomalejší v základních početních úkonech, ale známe čísla.

Kromě toho sama myšlenka přibližné metody byla mimo jeho chápání, přestože třetí odmocnina často nemůže být přesně vypočtena žádnou metodou. Takže jsem ho nemohl naučit, jak jsem počítal třetí odmocniny, ani mu vysvětlit, jaké jsem měl štěstí, že vybral právě číslo 1 729,03.